第n个空间(三维空间里n个平面最少把空间分成多少份？最多呢？)

n个平面最多将空间分成几份，请列公式。答对有“追加分”！
2的n次方空间
e.g.
2个面最多将空间分成4份
3个面最多将空间分成8份等等
四个平面可以把空间分别几个部分??帮忙啊!
15个通过直观想象1-3个平面最多分空间为几个部分。1个平面最多将空间分为2部分; 2个平面最多将空间分为4部分; 3个平面最多将空间分为8部分。
　 若要第四个平面将空间分为最多部分，就要它与前三个平面都相交，且交线不重合。则第四个平面与前三个平面都相交，交线不重合，有三条交线，这三条交线都在第四个平面内，那么要想使这四个平面分空间为最多部分就要使这三条交线分一个平面为最多部分。显然，三条直线分一个平面最多为7部分。所以，四个平面分空间数最多为，三个平面最多分平面数加上三条直线最多分平面的部分数：8 7=15。
推广到一般情况，n个平面最多可分空间为f（n）部分，第n个平面与n-1个平面分别相交且交线不重合，问题转化为n-1条直线最多将一个平面分成几部分。
同样，可以通过直观想象，1条直线最多可分平面为2部分；2条直线最多可分平面为4部分；3条直线最多可分平面为7部分；4直线最多可分平面为11部分。
在4条直线最多可分平面为11部分的基础上，研究5条直线分平面为几个部分。第5条直线与前4条分别相交且交点不重合，即有4个交点，则平面又多出4个部分。即5条直线分平面为，4条直线最多可分平面数加上第5条直线与前4条直线的交点数：11 4=15。
设n-1条直线分一个平面为g（n-1）个部分。再加上一条直线，这条直线（第n条直线）必与前n-1条直线相交且交点不重合，即有n-1个交点，直线被分为n段，每一段将空间分为两部分，即增加了n个部分，所以
g（n）= g（n - 1） n，
g（n）= g（n - 1） n
= g（n - 2） （n - 1） n
= …
= g（1） 2 3 … n
= 2 2 3 … n
= 1
所以g（n-1）=1 ，n个平面最多分空间的部分数为n-1个平面最多分空间的部分数加上n-1条直线最多分平面的部分数。即
f（n）= f（n - 1） g（n - 1）
= f（n - 2） g（n - 2） g（n - 1） …
= f[n -（n - 1）] g[n -（n - 1）] g[n -（n - 2）] … g（n - 1）
= f（1） g（1） g（2） g（3） … g（n - 1）
= 2 [1*(1 1)]/2 1 [2*(2 1)]/2 1 … [(n - 1)*n]/2 1
= 2 (n - 1)*1 [1*2 2*3 3*4 … n*(n - 1)]/2
= n 1 [(n - 1)*n*(n 1)]/(3*2)
=（n3 5n 6)/6
所以，n个平面最多可将空间分为f（n）= (n3 5n 6)/6个部分。
正三角体的面无限延伸形成几个空间？
一般化。设n个平面最多把空间分成f(n)个区域，则
f(1)=2,
第n个平面最多被前n-1个平面交成n-1条直线，这n-1条直线最多把第n个平面分成n(n-1)/2 1个部分，每个部分把它所在区域分成两个区域，所以
f(n)=f(n-1) n(n-1)/2 1,
所以f(n)-(1/6)n(n^2 5)=f(n-1)-(1/6)(n-1)[(n-1)^2 5]=……=f(1)-1=1,
所以f(n)=(1/6)n(n^2 5) 1,
f(4)=15.为所求。
三维空间里n个平面最少把空间分成多少份？最多呢？
2的n次方个
空间有n个平面,任意3个平面交于一点,无4平面共点.问这样的n个平面将空间分割成多少个不重叠的域?
2楼的分析是正确的.
我可以从几何上证明一下这个结论.
首先我们假设n-1个平面满足题设要求．
假设n-1个平面分出N个区域．
现考虑添加第n个平面,因为无论怎么添加,
只要满足任意3个平面交于一点,无4平面共点．则所围的区域数量是一样的．所以,我们可以添加第n个平面满足以下要求．
即：前n-1个平面任意3平面的交点,都在第n个平面的同一侧．
n-1个平面和第n个平面交出n-1条线．
考虑在第n个平面的另一侧的图象,得到添加第n个平面所增加的区域数,等于n-1条线在第n个平面所围出的面的个数．
正好是1 （n－1）(n)/2
这也就是为什么楼上可以得到：
”而第三列的数等于它上面的数与它左上的数的和”
最后求和就可以得到出楼上的结论．
四个平面，最多可以把空间分成几部分？
最多可以分成15份。
n个平面最多将空间分成几个部分？用排列组合知识证明
1个平面，把空间分成2部分；--------1个平面。
增加1个平面，与第1个平面相交，被第1个平面与它的交线分成两个部分，每个部分，将所在空间一分为2，
增加2个部分，合计2 2=4；--------2个平面。
再增加1个平面，与前两个平面相交，被两个平面与该平面的两条交线，把该平面被分成4个部分（注意，最外侧有无穷延伸的空间），每部分把所在空间一分为二，增加4个部分，共8个部分；---------3个平面。
再增加一个平面，与前3个平面有3条交线，把平面分成7个部分，空间增加7个部分，共15个部分；---------4个平面。
可以看到，一般位置n条直线，把平面分成的部分数，等于空间增加的个数，因此求出这个数值，就能解决问题了。
1条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成4部分，设k条直线把平面分成s部分，增加1条直线，与其他k条直线有k个交点，被这k个交点分成k 1部分，每部分将所在部分一分为二，增加k 1个部分。
因此，各号线增加的部分数为（开始是1个部分0条线）：
1：1；2：2；3：3；4：4；.....n：n
总部分数=1 1 2 3 ... n=1 n（n 1）/2=n²/2 n/2 1=（n² n 2）/2
n条直线，把平面分成（n² n 2）/2:
2,4,7,11,16,.....,（n² n 2）/2;
n条直线，是第n 1个平面被前面n个平面相交产生的n条直线，对于第n个平面，相交的直线是n-1条，对应被分成的空间总数为（（n-1）² （n-1） 2）/2=（n²-n 2）/2
1个平面，0条直线，2个平面1条直线，n个平面，n-1条直线。

据此，各号平面分空间增加的空间部分数为（开始1个部分，0个空间）
1：1（无直线），2：2，3：4，4：7，........，n：（n²-n 2）/2；
n个平面把空间分成的部分数：
（1） 1 2 4 7 ... （n²-n 2）/2
=（1） （1/2）[(1² 2² ... n²)-（1 2 ... n）] n
=1 n n(n 1)(2n 1)/12-n(n 1)/4
=(n 1)[1 n(2n 1)/12-n/4]
=(n 1)[12 n(2n 1)-3n]/12
=(n 1)(2n²-2n 12）/12
=（n 1）（n²-n 6）/6
n=0，1

n=1，2，
n=2，4
n=3，4.（9-3 6）/6=8
正确。